Dragoș Bucur a absolvit Universitatea Națională de Artă Teatrală și Cinematografică, secția Actorie și a început să joace la teatrul Podul, al profesorului Cătălin Naum. Timp de cinci ani, Bucur a jucat în numeroase piese și a predat actoria în facultăți de teatru și film. Primele roluri de film au fost în Marfa și banii, regizat de Cristi Puiu (selectat în secțiunea Quinzaine des Réalisateurs, Cannes, 2001) și Furia lui Radu Muntean, pentru care a primit Premiul pentru cel mai bun actor, din partea Uniunii Cineaștilor. Dragoș a jucat și în următoarele lungmetraje ale lui Radu Muntean, Hârtia va fi albastră (2006) și Boogie (selectat în secțiunea Quinzaine des Réalisateurs, Cannes, 2008), unde deține rolul principal.
Dragoș Bucur a jucat rolul principal din filmul Polițist, adjectiv, în 2009, regia lui Corneliu Porumboiu (Premiul Juriului și Premiul FIPRESCI în cadrul secțiunii Un Certain Regard, Cannes, 2009), film ce reprezintă propunerea României pentru categoria Cel mai bun film străin, Oscar 2010. Tot în regia lui Corneliu Porumboiu, Dragoș a mai jucat în scurtmetrajele Visul lui Liviu (2003) și Post telefonic suspendat temporar (2002), urmate de Apa (2006), în regia lui Constantin Popescu și de filmul de debut al regizoarei Cristina Ionescu, După ea (2007).
În televiziune, după câteva emisiuni pe care le-a realizat sau le-a produs, Dragoș a jucat în serialul polițist Băieți buni (PRO TV, 2004), urmat de filmele TV Contratimp (2008) și Contratimp 2 (2009), în regia lui Jesus del Cerro.